Математика

  1. Определение математики [ ред. | ред. код ]
  2. Основные темы математики [ ред. | ред. код ]
  3. преобразование [ ред. | ред. код ]
  4. структуры [ ред. | ред. код ]
  5. Пространственные отношения [ ред. | ред. код ]
  6. дискретная математика [ ред. | ред. код ]
  7. Дисциплина в учебных заведениях [ ред. | ред. код ]

математика ( греч. μάθημα - наука, знание, изучение) - наука , Которая первоначально возникла как одно из направлений поиска истины греческой философии ) В сфере пространственных отношений (землемиряння - геометрии ) И вычислений ( арифметики ), Для практических нужд человека считать, вычислять, измерять, исследовать формы и движение физических тел . Позже развилась в достаточно сложную и многогранную науку об абстрактных количественные и качественные соотношения, формы и структуры. Общепринятого определения математики нет. Изначально она использовалась для подсчета, измерения , А также для изучения форм и движения физических объектов путем дедуктивных рассуждений и абстракций . Математики формулируют новые выводы и пытаются установить их справедливость, исходя из удачно выбранных аксиом и определений .

Определение математики [ ред. | ред. код ]

Происхождение слова и его применение в различных языках [ ред. | ред. код ]

Слово «математика» происходит от греческого слова μάθημα, что означает «наука , знания , Изучение », и греческого μαθηματικός, что означает «любовь к познания » , В итоге приводит к более узкому и технического (прикладного) значение «математическое исследование», которое использовалось и в античные (Классические) времена. В частности, греческое μαθηματική τέχνη, латыни ars mathematica, означает математическое искусство. [1]

Математика возникла издревле из практических потребностей человека, ее содержание и характер со временем менялись. От начального предметного представления о целом положительное число , От представления о отрезок прямой Как короткую расстояние между двумя точками . Математика прошла долгий путь развития, прежде чем стала абстрактной наукой с точно сформированными исходными понятиями и специфическими методами исследование . Новые требования практики, расширяют объем понятий математики, наполняют новым содержанием старые понятия.

понятие математики абстрагированы от качественных особенностей специфических для каждого данного круга явлений и предметов. Это обстоятельство очень важно в применении математики. Так, число 2 не имеет какого-то определенного предметного содержания. Оно может относиться и к двум книг И до двух станков, и до двух идей . Оно хорошо применяется и до сих и многим другим объектов . так же геометрические свойства шара не меняются от того, сделана она из стали , меди или стекла . Конечно, абстрагирование от свойств предмета обедняет наши знания об этом предмет и его характерные материальные особенности. В то же время именно это абстрагирования предоставляет математическим понятием обобщенности, давая возможность применять математику к разным по природе явлений . Это означает, что одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут быть достаточно успешно применены к биологических , технических , экономических и других процессов.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверное, древние люди сначала выражали количество путем рисования рисков на земле или выцарапывали их на древесине. древние инки , Не имея другой системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему веревочных узлов, так называемые кипу . Существовало множество различных систем счисления . Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса , созданном египтянами среднего царства . Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления , Включающий концепцию нуля .

абстрагирования в математике не является ее исключительной особенностью, поскольку всевозможные общие понятия содержат в себе некоторый элемент абстрагирования от свойств конкретных вещей. Но в математике этот процесс идет дальше, чем в естественных науках . В ней широко используют процесс абстрагирования различных степеней. Например, понятие группы возникло в результате абстрагирования от некоторых свойств чисел и других уже абстрактных понятий. В математике специфическим является также метод получения результатов. Если естествоиспытатель, доводя любое утверждение, всегда использует опыт, то математик доказывает свои результаты лишь на основе логических рассуждений. Ни один результат в математике нельзя считать доказанным, пока ему не дано логического обоснования, хотя специальные опыты и подтвердили его. В то же время истинность математических теорий проверяется на практике, но эта проверка имеет особый характер. Выдвигаются математические теории реальных явлений, а выводы из этих теорий проверяются на опыте.

Однако связи математики с практикой является шире, ибо понятия математики: теоремы , задачи , Математические теории связаны с запросами практики. Со временем эти связи становятся более глубокими и разнообразными. Математику можно применить к изучению любого типа движения . Однако в действительности ее роль в различных областях научной и практической деятельности неодинакова. Особенно велика роль математики в изучении тех явлений, для которых даже значительное отвлечение от их специфических качественных характеристик не изменяет существенно присущих этим явлениям количественных и пространственных закономерностей . Например, в небесной механике тела считают материальными точками (то есть абстрагируются от реальности) вычисленные таким способом движения небесных тел совпадают с действительными движениями этих тел. Пользуясь математическим аппаратом, можно не только очень точно предвычислять небесные явления ( затмение , положение планет т.д.), но и по отклонению истинных движений от исчисленных сделать вывод о наличии невидимых невооруженным глазом небесных тел. Именно так было открыто планеты Нептун (1846) и Плутон (1930). В связи с бурным развитием космических полетов небесная механика получила все большее значение. механика и физика стали, по сути, математическими науками. Меньше, но все же значительное место занимает математика в экономике , биологии , медицине , лингвистике . Для этих наук особое значение приобрела математическая статистика . Качественное своеобразие изучаемых явлений, например, в биологии, столь значительна, что роль математического анализа при исследовании их пока является подчиненной. Процесс математизации наук, начавшийся с 18 в. , Теперь приобрел исключительно интенсивного развития.

Историю математики ученые обычно делят на четыре периода:

  • период зарождения математики как самостоятельной дисциплины - продолжался примерно до 6 - 5 века до н. е. В этот период формировались понятия целого числа и рациональной дроби , понятие расстоянии , площади , объема , Создавались правила действий с числами и простые правила для вычисления площадей фигур и объемов тел. Математика не имела еще формы дедуктивной науки, она представляла собой сборник правил для выполнения определенного рода действий. Во всех математических текстах ( египетских , вавилонских ), Дошедшие до нас, математические знания излагались именно в такой форме.
  • период элементарной математики - длился от 6-5 ст. до н. е. к середине 17 века . В этот период на основе небольшого количества исходных утверждений - аксиом строилась геометрия как дедуктивная наука. Математика перестала быть безымянной наукой. Из истории математики известны имена многих ученых древней Греции ( Фалес , Пифагор , Гиппократ Хиосский , Демокрит , Евдокс , Евклид , Архимед и др.), Китая ( Чжан Цан , Ген Шоу-чан , Цзу Чун-чжи и др.), средней Азии ( Джемшид ибн Масуд аль-Каши , Мухаммед бен Муса аль Хорезми и др.), Индии и позже Западной Европы ( Лодовико Феррари , Тарталья , Джироламо Кардано , Стевин и др.), что сделали значительный вклад в математику.
  • Третий период (середина 17 в. - начало 20 в. ) - период исследования переменных величин. естествознание и техника получили новый метод изучения движения и изменения - дифференциальное исчисление и интегральное исчисление . Создался ряд новых математических наук - теория дифференциальных уравнений , теория функций , дифференциальная геометрия , вариационное исчисление и др., значительно расширили предмет и возможности математики. Большую роль в развитии математики этого периода сыграли и украинские математики. Николай Лобачевский открыл неевклидовой геометрии , Михаил Остроградский сделал выдающиеся открытия в механике , математическом анализе , математической физике , Пафнутий Чебышев положил начало новому направлению в теории функций, сделал значительные открытия в теории , теории вероятностей , Механике, приближенном анализе. К этому же периоду относится деятельность таких выдающихся ученых, как Александр Ляпунов , Андрей Марков (старший) , Георгий Вороной и многих других.
  • Четвертый период - период современной математики - характеризуется сознательным и систематическим изучением возможных типов количественных соотношений и пространственных форм. В геометрии изучается уже не только трехмерное пространство, но и др. подобные ему пространственные формы. Характерными направлениями развития математики этого периода является теория множеств , функциональный анализ , математическая логика , Современная алгебра, теория вероятностей , топология тому подобное.

С 17 века развитие математики существенной мере взаемокоординуеться с развитием физики , механики , Ряда технических дисциплин, в частности горной . Математика широко применяется, например, для составления и обработки математических моделей технологических процессов .

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. Однако все исследуемые математикой объекты имеют прообразы в реальном мире, более или менее похожи на свои математические модели . Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые нужные для цели исследование . Например, изучая физические свойства апельсина , Мы можем абстрагироваться от его цвета и вкусу и подать его (пусть не идеально точно) в виде шара . Если же нам нужно понять, сколько апельсинов мы получим, если сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив в модели только одну характеристику - количество . абстракция и установления связей между объектами в самом общем виде - это цель математики.

Изучение объектов в математике происходит с помощью аксиоматического метода : Сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью логических правил вывода получают теоремы .

Основные темы математики [ ред. | ред. код ]

числа [ ред. | ред. код ]

Изучение количества начинается с цифр Сначала из знакомых нам натуральных чисел и целых чисел и арифметических операций с ними, которые изучаются в арифметике . Более глубокие свойства целых чисел изучает теория чисел , К которой принадлежит знаменитая Великая теорема Ферма . К нерешенным задач теории принадлежат предположение о простых чисел-близнецов и гипотеза Гольдбаха .

В процессе развития числовой системы, целые числа оказались опилками рациональных чисел (добавились дроби ). А эти в свою очередь входят в множества действительных чисел , Которые используются для отображения непрерывных величин. Действительные числа являются частным случаем от комплексных чисел . А они первым шагом в иерархии чисел, которая включает кватернионы и Алгебра Кэли . Изучение натуральных чисел привело к появлению трансфинитных чисел , Которые формализуют понятие бесконечности . Другой областью исследования является размер множества чисел, который привел к появлению кардинальных чисел , А затем в новой концепции бесконечности: цифр алеф , Которые позволяют значимо сравнить размер бесконечно больших множеств.

1, 2, ... {\ displaystyle 1,2, \ ldots} 1, 2, 0, 1, - 1, ... {\ displaystyle 0,1, 1, \ ldots} 1 - 1, 1, 2, 2, 3, 0.12 ... {\ displaystyle 1, 1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {2} {3}}, 0.12, \ ldots} натуральные числа Целые числа рациональные числа 1 - 1, 1, 2, 0.12, π, 2, ... {\ displaystyle 1, 1, {\ frac {1} {2}}, 0.12, \ pi, {\ sqrt {2}}, \ ldots} - 1, 1, 2, 0.12, π, 3 i + 2, ei π / 3, ... {\ displaystyle 1, {\ frac {1} {2}}, 0.12, \ pi, 3i + 2, e ^ { i \ pi / 3}, \ ldots} 1, i, j, k, π j - 1 2 k ... {\ displaystyle 1, i, j, k, \ pi j - {\ frac {1} {2}} k, \ dots} Действительные числа комплексные числа кватернионы

преобразование [ ред. | ред. код ]

арифметика

- векторный анализ - математический анализ - теория меры - дифференциальные уравнения - динамические системы - теория хаоса - список функций

структуры [ ред. | ред. код ]

(1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) {\ displaystyle {\ begin {matrix } (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \ end {matrix}}} (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) {\ displaystyle {\ begin {matrix } (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \ end {matrix}}}   комбинаторика   теория чисел   теория групп   теория графов   теория порядке   абстрактная алгебра   -   теория групп   -   алгебраические структуры   -   алгебраической геометрией   -   теория чисел   -   топология   -   линейная алгебра   -   Универсальная алгебра   -   теория категорий   -   теория последовательностей комбинаторика теория чисел теория групп теория графов теория порядке абстрактная алгебра - теория групп - алгебраические структуры - алгебраической геометрией - теория чисел - топология - линейная алгебра - Универсальная алгебра - теория категорий - теория последовательностей

Пространственные отношения [ ред. | ред. код ]

исследование пространства привело к возникновению геометрии , в частности евклидовой геометрии . тригонометрия - это раздел математики, имеет дело с отношениями между сторонами и углами в треугольнике и с тригонометрическими функциями ; здесь пространство выраженный в числах, в этот раздел входит знаменитая теорема Пифагора . Современные исследования пространства обобщают эти идеи и включают многомерную геометрию, неевклидовы геометрии (Которые играют центральную роль в общей теории относительности ) и топологию . Количественные и пространственные характеристики вместе исследуются в аналитической геометрии , дифференциальной геометрии и алгебраическая геометрия . конвексных геометрия и дискретная геометрия были разработаны, чтобы решить задачи в теории и функциональном анализе , Но теперь нашли свое применение в оптимизации и информатике .

геометрия

- тригонометрия - алгебраическая геометрия - топология - Дифференциальная геометрия - дифференциальная топология - алгебраическая топология - линейная алгебра - фрактальная геометрия

дискретная математика [ ред. | ред. код ]

дискретная математика

содержит средства, которые применяются к объектам, которые могут принимать только специфические, отдельные значения (не непрерывные). комбинаторика - теория множеств - математическая логика - теория вычислимости - криптография - теория графов

Дисциплина в учебных заведениях [ ред. | ред. код ]

В Украине утрадицийнени термины «Математика элементарная» и «Математика выше», которые соответственно обозначают курс «Математики» в общеобразовательной средней школе ( арифметика , алгебра , геометрия , тригонометрия ) И высшей (высшая алгебра, аналитическая геометрия , математический анализ , дифференциальные уравнения , теория вероятностей , математическая статистика тому подобное).

В школе изучается элементарная математика - арифметика , функции , алгебра ; в ЗВО - высшая математика : дифференциальное , интегральное исчисление , топология , теория операторов и все остальное, что не входит в элементарную математику . Высшая математика , Как правило, базируется на высшем уровне абстракции , Чем элементарная математика, и менее просто выводится из свойств окружающего мира.

Существует большое количество сайтов , Предоставляющих сервис для математических расчетов. Наибольшего внимания заслуживает WolframAlpha . Большинство из них англоязычные . [2] с русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma . Постепенно появляются и украиноязычные системы онлайн-образования , Например математика.укр [3] и cubens.com. [4]

Вебер Г., Вельштейн И. (ред.) Энциклопедия элементарной математики. Том 2. Энциклопедия элементарной геометрии. Книга 1. Основания геометрии. Одесса: Матезис, 1909 Вебер Г., Вельштейн И. (ред.) Энциклопедия элементарной математики. Том 2. Энциклопедия элементарной геометрии. Книга 2 и 3. Тригонометрия, аналитическая геометрия, Стереометрия. Одесса: Матезис, 1910

  • Справочный математический словарь: Для студ. вузов экон. направления / Г. Я. Дутка; Нац. банк Украины. - Л., 1998. - 95 c.
  • Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра / К. И. Швецов, Г. П. Бевз. - М .: Наукова думка, 1967. - 408 с.
  • Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра / П. Ф. Фильчаков. - М .: Наукова думка, 1967.
  • Справочник по элементарной математике, механике и физике / Галушка И. М. и др. Ред .: Максимова С. Г. - K .: Наукова думка, 1996. - 192 c. - ISBN 966-00-0014-6
  • Энциклопедический справочник в таблицах. Алгебра. Геометрия. Информатика 7-ми-11-е кл. : Пер. с рус. / Иваница С. В. - Донецк: ПКФ «БАО», 2012. - 431 с. : Ил., Табл. - 15 000 пр. (1-й завод 1-3 000). - ISBN 978-966-481-574-8 . - ISBN 978-966-481-525-0 (В курите.)
  • Кисилевич О. В., Пенцак А. С., Барбуляк Л. В. Математика. - Львов: Новый Свет-2000, 2006. - 320 с. - ISBN 966-418-013-0 .
  • Кольман Э. История математики в древности. - М.: Физматгиз, 1961. - 234 с.
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1974. - 832 с.
  • Краткий толковый математический словарь / Бугай А. С. - М .: Просвещение, 1964. - 428 с.
  • Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - 3-e изд., Испр. и доп.-М .: МЦНМО, 2001. - 568 с.
  • Математика: учеб. пособие. / Л. И. Блавацкая, В. М. Кирилич, В. Е. Кревса, В. Д. Мохонько; М-во образования и науки, молодежи и спорта Украины, Львов. нац. ун-т им. И. Франко. - Л.: Изд. центр ЛНУ, 2011. - 613 с. : Ил. - Библиогр .: с. 584 (17 названий). - ISBN 978-966-613-825-8
  • Математика: учеб метод. довод. Полный курс / А. И. Каплун. - Харьков: Торсинг плюс, 2012. - 252, [1] с. : Ил., Табл .; 24 см. - Алф. покажч .: с. 243-248. - 2000 пр. - ISBN 978-617-030-473-5
  • Математика. Толковый словарь-справочник / Тадеев В. А. - Тернополь: «Учебная книга - Богдан», 1999. - 160 с. - ISBN 966-7437-51-5
  • Математическая энциклопедия: в 5-ти т / Под ред. И. М. Виноградова. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
  • Перельман Я. И. Живая математика / Пер. с рус. под ред. В. А. Тедеева. - Тернополь: Учебная книга - Богдан, 2011. - 250 с. - (Классики популяризации науки; Страна Перельмания) - ISBN 978-966-10-2320-7 .
  • Систематический словарь украинского математической терминологии / Чайковский М. - Берлин Издательство украинской молодежи, 1924. - 116 с. ( PDF )

Что такое математика?
Яндекс цитирования Rambler's Top100 Service
Карта